Вопросы по специальности 05.13.18 для собеседования

1. Математический анализ.
 
Теория пределов. Основные теоремы о непрерывных функциях. Теорема о среднем. Теорема о неявной функции. Формула Тейлора. Основные теоремы интегрального исчисления (замена переменных, метод интегрирования по частям, интегрирование рациональных функций). Числовые ряды (признаки сходимости знакопостоянных и знакопеременных рядов). Функциональные ряды. Степенные ряды. Ряды Фурье (вычисление коэффициентов). Функции многих переменных. Градиент
 
2. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
 
Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения и нормальной системы. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка. Построение общего решения линейного уравнения. Неоднородные линейные системы. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
 
3. Алгебра и аналитическая геометрия
 
Комплексные числа, поля. Метод Гаусса. Определители n-го порядка. Основные методы вычислений определителей. База и ранг системы векторов. Координаты вектора в базе. Преобразование координат векторов при смене базы пространства. Операции над матрицами. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение системы линейных уравнений. Связь решений общей и однородной систем линейных уравнений. Однородные системы (пространство решений, фундаментальные системы решений). Собственные векторы и собственные числа матрицы. Разложение на неприводимые множители. Корни полиномов. Основная теорема алгебры. Формулы замены координат при переходе от одной декартовой системы координат к другой. Вычисление скалярных произведений, длин отрезков, углов. Линии и поверхности 1-го и 2-го порядка.
 
4. Теория вероятностей и математическая статистика
 
Случайные события и случайные величины. Аксиоматическое определение вероятности события. Условные вероятности. Независимость событий. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин (дисперсия и математическое ожидание). Закон больших чисел. Выборка и методы ее представления. Числовые характеристики выборочного распределения (мода, медиана, среднее, дисперсия). Правило 3 сигм. Выборочные уравнения регрессии
 
5. Численные методы
 
Интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа. Численное дифференцирование и интегрирование. Метод итераций решения систем линейных уравнений. Метод Зейделя. Метод конечных разностей решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
 
6. Дискретная математика
 
Алгебра логики (булевы функции, понятие полноты системы).
 
7. Вычислительный эксперимент
 
Принципы проведения вычислительного эксперимента. Модель, алгоритм, программа.
 
8. Алгоритмические языки
 
Представление о языках программирования высокого уровня. Пакеты прикладных программ.
 
9. Методы хранения, организация и доступ к данным.
 
Основные структуры данных. Алгоритмы обработки и поиска.
 
Литература
  1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.:, Наука, 1969 г.
  2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:, Наука, 1970 г.
  3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:, Наука, 1971 г.
  4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.:, Физматлит, 2002
  5. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1984.
  6. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.
  7. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
  8. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 1997.
  9. Математическое моделирование / Под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Садовничего и др. М.: Изд-во МГУ, 1993.

Вопросы составлены д.ф.-м.н. Ососковым Г.А.